上野健尔(KenjiUeno)

作者：上野健尔(KenjiUeno)，著名代数几何学家，京都大学数学系名誉教授，日本数学协会会长，关孝和数学研究所所长。

译者：杨宝山、叶玲

编辑|子曰

好数学之含义随数学之发展一直在变化着，此话题亦和好教科书与好老师相关。我想从以下几个观点来论述。

复数和复分析

何为好数学？可以分为两种不同类型：针对学习而言，何为好数学；以及针对研究而言，何为好数学。当然，此两种类型亦是彼此相关联的。好数学之概念随数学之发展一直在改变。例如，虚数是卡尔达诺(Cardano,1501—1576)在其名著《大术》(ArsMagna)中首次引入的。为了求解两个数，其和、其积依次为10、40，而引入虚数（第37章，法则2），这令当时数学家很困惑。卡尔达诺本人对于虚数的实际意义也很犹豫，他写道：

“虚数就是这样可以像通常一样进行算术运算，这些令人感到神秘的最后结果犹如其名，真是又精致又不中用。”

奇怪的是，虽然《大术》主要致力于3次方程和4次方程的解法，但是他却没有考虑3次方程的虚数解，从而使他错过了发现虚数的重要性和有用性。不久，邦贝利(Bombelli,1526—1572)受卡尔达诺著作的激励，利用虚数完整地发展了3次方程理论。甚至，他用虚数还发现常用数的一些奇怪表达式，譬如

两边开立方便知，上述等式成立。

欧拉(Euler,1707—1783)是个例外。他自由地使用复数并发现一些优美公式，譬如

即使欧拉已经发现许多关于复数的有趣结果，仍然很少有数学家认识到复数是数。因此，在1799年，高斯(Gauss,1777—1855)写作他的关于代数基本定理的论文，此文陈述了任何具有复系数的方程在复数范围内均有一个根的理论，他避免了利用复数来陈述代数基本定理。取而代之，他将定理改写为，任何具有实系数的方程均可以分解为1次、2次不可约多项式的乘积。

完全意识到复数之重要性是在柯西(Cauchy,1789—1857)发现复变函数论（复分析）和黎曼(Riemann,1826—1866)建立代数函数论以及黎曼曲面论之后的事。经过300余年，几乎所有数学家才认识到复数确实是数。

故事还在继续，在20世纪30年代量子力学诞生时，物理学家发现复数的使用是非常关键的。如此一来，复数不仅在数学的许多不同领域扮演着重要角色，在物理学依然如此。现在，复分析学已经成为最漂亮的数学学习课题之一。

可以想象，在高斯的时代就很难说，涉及复数的数学是好数学。你必须在数学上有好的直觉和鉴赏力才行。因此，历史上仅有柯西和黎曼才会深入研究复数。这告诉我们，可供研究的好数学实际上依赖于不同的人。只有随后的数学发展才能证明你当初的选择成功与否。这也告诉我们，只要你对某个课题非常感兴趣，它对你来说就是好数学。

好教科书

另一方面，可供学习的好数学就是学习时必须选择好课题。当然，找到相关的好教科书是非常重要的。我想强调一下，没有适合所有人的好教科书。

我有一段特别经历。刚进入大学时，我还没有学过复分析学就曾经试图阅读岩泽健吉(KenkichiIawasawa)的《代数函数论》。第一章开始是赋值论，从逻辑上讲要理解其推理并不困难。但是，我当初并不知道代数函数域的赋值对应着相应的黎曼曲面上一点这样的事实。因此，我难以理解赋值论的真正含义。这样就没法进一步阅读该书了。几个月之后，我再次阅读该书就稍有入门了，就这样反复重复地阅读这本书。最终，我便能理解该书的内容了，因为其间我不得不学习了一些其他的包括复分析方面的数学知识。

但是，这种方法只有在你找到适合自己的好教科书时才起作用。我还有另一段经历。几乎在阅读岩泽健吉《代数函数论》的同时，我还开始阅读一本关于复流形上的调和积分的书。从这本书中，我第一次了解到黎曼几何、复分析和纤维丛理论。对于当时的我来说，书中包含的许多新的数学概念是如此困难，我不得不反复多次阅读，直到我认为自己掌握了相关课题为止。后来，当我选择复流形论为我的研究领域时，我才发现从这本书中我几乎没有学到什么。这是因为作者在书中仅仅堆砌了已有知识，而没有自己的任何新见解。该书的品位不能和岩泽健吉的书相提并论。当然，如果当初我在此课题上更有天资的话，通过学习调和分析主要结果，也应该独立地在自己的选题上有所建树！现在回头说这些话，无非是想说明一个道理：要为自己认真仔细地选择好教材，以便我们更容易在自己所学课题上发现好的观点和思路。

通常，以名著为教科书还是具有广泛适应性的。但是，如果我们感觉到对它没有多少阅读兴趣的话，那最好还是另换一本再试试看吧。

欧氏几何和非欧几何

初等几何对于训练正确的逻辑思维非常重要。但是，初等几何往往使人头疼，因为解题并不容易。你经常不得不做辅助线，一旦找到恰当的辅助线，问题便会迎刃而解。这会让你享受到发现的快乐。从这个角度而言，初等几何可谓最令人着迷的数学课题之一。在你苦思冥想证明方法时，你就得同时进行正确的逻辑推理。困难的是逻辑推理并不足以让你找到恰当的辅助线，这要求你得有良好的几何直觉。当然，逻辑推理对于得到证明思路是必需的，而要找到恰当的辅助线，你就得更加努力。常见的情况是，为了考试仅仅死记硬背一些定理和问题的证明过程，而不求甚解，这是一种不好的学习数学的态度和习惯。如果你只是记忆证明过程，就会失去提高你数学能力和数学直觉的良好机会。

如果能了解一点非欧几何知识，初等几何会变得更有吸引力。非欧几何的前期历史是久远的。欧几里得在他的《几何原本》卷I中，曾经利用第5公设来证明命题29。

命题29

若一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，同旁内角的和等于两直角的和。

第5公设

若一条直线落在两条直线上所构成的同旁内角和小于两直角和，则把两条直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角和的一侧相交。

图1第5公设

通过阅读《几何原本》卷I，可以感觉到欧几里得本人似乎对第5公设心存犹豫。事实上，随后的古希腊学者一直在努力消除对第5公设的疑问。他们或者寻求一个更加自然的等价公设来替代它，或者试图把它当作一条定理并给出证明。中世纪的阿拉伯学者也有过这方面尝试。直到17—18世纪，欧洲数学家也开始卷入这个问题之中，其中的主要人物有萨凯里(Saccheri,1667—1732)。在证明第5公设的所有这些努力清楚地表明，第5公设等价于下面的平行公设。

平行公设

过已知直线l外一点P能且只能做一条直线与已知直线l平行。

图2若过点P的直线m1和m2平行于直线l，则过点P的位于m1和m2之间的直线m也平行于直线l

这似乎是荒谬的。但是，在1829年罗巴切夫斯基(NikolaiLobachevsky,1792—1856)发表了关于新几何学的论文，从双曲非欧几何的平行公设建立了非欧几何。在1832年波尔约(JanosBolyai,1802—1860)的有关非欧几何的内容也在他父亲的一本欧氏几何书的附录中出版了。现在，这种新几何学叫做双曲非欧几何。开始的时候，几乎没有数学家相信他们的结果，仅有高斯是个例外。高斯也曾独立发展过非欧几何，却从未发表过他在这方面的成果。后来，有几位几何学家发现了非欧几何的优美的现实模型，非欧几何才逐渐被数学家们所接受。但是甚至在19世纪末，仍有数学家不愿意承认非欧几何。康德(EmmanuelKant,1724—1804)把欧氏几何作为他的哲学基础之一。当时的欧洲哲学界普遍认为欧氏几何是绝对真理的化身，它是无懈可击的，它是人类所生存世界的唯一几何解释。

以一种完全不同的面目，高斯在他的一篇论文中，研究了3维空间曲面的内蕴几何性质。曲面上两点的最短距离不必是直线。黎曼把高斯的理论作为其中一个具体的模型，建立了更一般的几何学，即所谓的黎曼几何学，从而使各种几何学在数学上成为可能。黎曼指出，我们居住的现实世界的几何模型只能由物理来决定。这样一来，他便为爱因斯坦(Einstein)的相对论在数学上铺平了道路。

下面的图3是一种非欧几何的模型。它是一个单位圆盘，所谓的“直线”在这里对应着圆盘内部的半圆线，这些半圆线均垂直于边界圆，或者说直径。其中任意两个半圆线在交点所成之夹角为这两个半圆线在交点的切线的夹角。这是双曲非欧几何的一种简单明了、富有启发性的模型。庞加莱(Poincaré)就是利用这个模型建立了自守函数论。

图3双曲非欧几何的一种简单明了的模型

以上历史说明，预测一种理论的未来并非易事。不过如果能够多少了解一些非欧几何，我们中学的初等几何学习会更令人兴奋，因为比较一下两种几何的相关定理是非常有意思的。譬如，双曲非欧几何不存在相似性概念。这难道不令人吃惊吗？在欧氏几何中，两个三角形的对应角相等只能得出这两个三角形相似，而非欧几何中这两个三角形必然全等。π——圆的周长与直径之比——在欧氏几何中完全独立于直径的大小，而在非欧几何中π事实上依赖于直径的大小在变化。因此，了解更高级的相关课题，并比较相关课题中的类似概念，可以深化人们的理解能力。这就是说，学习相关课题的更高级知识对于提高自己在课题上的理解力和鉴赏力作用甚大。但是，怎么才能做到这一点呢？仅仅依靠自己是很困难的。所以，有个好老师来点拨你，有一些好朋友来一起讨论大有必要，其效果不可小觑。

可供研究的好数学

到底何为可供研究的好数学？这涉及数学的许多不同领域和其他学科，它也是不断发展变化的。经常见到的情形是，在数学的某个领域发展的高峰时期，人们感到它非常漂亮和重要。但是，令人遗憾的是剩余的有趣问题异常难解。如果你能解答如此难题，你会无比幸运。不过通常这样的问题确实是非常困难的，你不懈努力却进展甚微。因此，为自己找到一个感兴趣的新兴课题不失为一种明智的作法。另一方面，这种选题的重要性只有未来才可检验，新人是容易捷足先登的。

在我的学生时代，泰希米勒(Teichmüller)空间理论发展到高峰，我错误地认为它似乎难有新的进展。但是几十年之后，它在几个不同方向都发展迅速。它和映射类群论相关，亦和物理学纽结理论(knottheory)以及弦理论(stringtheory)相关联。一个相关案例是纽结理论。在我的学生时代，纽结理论仅是拓扑学的一个小分支，老师建议我们做这方面研究得有好的几何直觉。那时候只有一种纽结不变式，即所谓亚历山大(Alexander)多项式。亚历山大多项式不够强大，不足以用来区分不同的纽结，因此必须有好的几何直觉，才能区分复杂的纽结。新的进展发源于完全不同的领域，即算子代数论。琼斯(Jones)发现了以自己命名的关于纽结不变式的琼斯多项式。这个发现之后，各种新的纽结不变式应运而出，从而呈现出3维流形拓扑类和纽结理论具有深层关联。现在，纽结理论已经成为数学的最活跃领域之一。这也说明，一个新的发现会彻底改变数学的面貌，使一个非常专门化的领域成为整个数学的中心。

我的一位朋友是纽结理论方面的专家。他曾告诉我，在他年轻时候有许多朋友甚至老师劝他放弃他的研究领域，换成当时的一个活跃领域。但是，他对纽结理论的重要性很自信而没有改变。他做对了。可是不可能每个人都能像他一样幸运。即使你在自己感兴趣的领域辛勤工作不懈努力，也可能难有重要进展。

因此，选取一个新领域或者当时还不活跃的数学领域来研究实际上也是一种冒险。但是，没有这样的挑战，数学就不可能发展。最后，我想概括一下我的观点，可供研究的好数学就是你本人最感兴趣的那些数学，离开它们，你便无法继续你的研究。

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